20.【拾玖】_Y
2012年的1月6日, 第27届CMO（中国数学奥林匹克）在古城长安开幕，晚上照例领队会议，今年带雍都队的是我们学校的方槐老师。
7号8点, 考试正式开始。
第一道题是毫无悬念的几何。
在圆内接三角形ABC中, ∠A为最大角, 不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧ABC、ACB的中点。记过点A、B且与AC相切的圆为⊙O1, 过点A、E且与AD相切的圆为⊙O2, ⊙O1与⊙O2交于点A、P。
需要证明的是，AP平分∠ABC。
首先，显然的有A、B、D、E、C五点共圆, 由已知条件得到AD=DC，AE=EB, 故而能够轻易得到∠BAE与∠ACB, ∠CAD与∠ABC的关系。
接着在CA延长线、DA延长线上各自戳上一点Q、R, 则由弦切角等于弦所对的圆周角，并进行等量代换则又可得到∠APE与∠BAC的关系, 于是经过又一次等量代换，得到∠BPE＝∠APE。
接着只需要对三角形APE和三角形BPE使用正弦定理并结合AE=BE即可得sin∠PAE=sin∠PBE。而考虑题设条件便可得知这两个角都被“钦定”为锐角，于是两角相等。
最后一次等量代换则可以得到∠BAP=∠CAP，即，AP平分∠ABC。
整个题目只采用综合法思考, 就可以非常顺利地做出来。
第二题则颇有意思：给定质数p。设A=(a_ij)是一个p×p的矩阵, 满足{a_ij|1≤i, j≤p}={1, 2, …，p^2} 。允许对一个矩阵做如下操作：选取一行或一列, 将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1。若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0，则称A是一个“好矩阵”。求好矩阵A的个数。
乍一看不算特别难，背景是矩阵的变换，但具体讨论似乎有些繁琐，便先看第三题题干。直觉是先构造一个序列再证明，但枚举了10 个例子之后仍然无果。遂返回第二题。
由题设可以得到一个显而易见的小性质：表中的各个数互不相同。而由加法交换律与结合律则可以知道，我们能够针对同一行或同一列的操作进行合并，并且无需考虑操作之间的次序。
那么不妨将表中的每一个数拆成两个整数的和，将所有的操作的最终结果表示为对第i行减去x_i，对第j行减去y_j，其中x_i，y_j是任意的整数，且x_i互不相同，y_j也互不相同。也就不妨将二者都进行排序，设为两个递增的序列。在这样的假设下，每一行由左至右是递增的，每一列从上至下亦是递增的。
于是，第一行第一列的数一定是1，而2在它的右方或者下方。不妨设在右方，否则将整个数表关于主对角线进行对称，也不改变题设和结论。
显而易见地，在该假设下，1至p一定列于第一行。
使用反证法。
将1到一个小于p大于等于2的k统统置于第一行，把k 1“赶出”第一行，不妨就放在第二行第一列的位置。
由此联想到分块矩阵。
将连续的k个整数为一个“块”，于是便只需证明表格的第一行恰由若干个块所构成。也就是前k个数是一块，中间k个数一块，再往后k个数一块，以此类推，直到没有块了为止。
否则，设前n组k个数均为块，但之后的k个数不成块，或者之后不足k个数。
由此可知对于j为1到n时，于每行而言x_i相等，故y_(j-1)k 1至y_jk构成块。从而表格前nk列共可以分成pn个1×k的子表格，每个子表格中的k个数又构成块。
现在假设a_2，nk 1-a_1，nk 1=x_2-x_1=a_2-a_1=k，故a_2，nk=a k，从而a b必然在前nk列中，这样一来，a b旱灾前面所说的某个1×k的块之中，但a、a k都不在该块中，矛盾！
于是，第一行便恰由若干个块组成。
特别地，有k整除p，但p是质数，这又矛盾了。所以数表的第一行恰为1到p，而第k行必定为(k-1)p 1到kp。
也因此，好的矩阵A在交换行和列，以及做关于主对角线的对称变换后，总可以转换成唯一的形式。
故，好的矩阵的个数为p的阶乘的平方的两倍。
此时抬头看表，还剩下一个小时有余，继续想第三题的构造，然而直至收卷时仍未果。
第二天题路不顺，暴力破解了第四题的不等式之后，直接在第五题的数论上吊死。
考完之后，自然是开启了狂对答案的模式，发现第二题除了用“块”来说明，考察最小的不在“块”内，取“极限”来说理外，可以使用分圆多项式；第四题可以归纳；而第五题其实……我本该可以做完的。
第二天长安东线游，由于心里难免有些遗憾，加之不是很喜欢历史古城的氛围，所以相比于队里其他人，我兴趣缺缺——薛知理倒是会很喜欢这些吧，只可惜……
等到兵马俑和华清池从教科书上的二维变成三维留在脑海里之后，大家便打道回府。
最后分数出来，75，银牌靠后——就算第五题做完也拿不到金牌，但也算……还不错？
就这样吧，反正我还有两年呢。
回去后的开学第一天，迎来了开春后的第一场雨。淅淅沥沥的雨声将放学的欢声笑语淹没，周遭蒙上了一层天青色的滤镜。春风也一点儿不和煦，和雨水一起打在脸上，把好不容易上升的温度打回原形。
教学楼里没带伞的人群，比如我和孙昊轩，自然是愁断了肠子。
“啧啧啧，伞小，我跟魏理先撤为敬！”言罢，樊斯敏和魏理共撑一把直径不足60厘米的真·小伞，踏着湿漉漉的地面，完全顾不得已经开始滴水的半边肩膀，朝食堂奔去。
“斯敏你等等我！”樊斯捷拉上江镜琪紧随其后。
我当即甩了个眼刀过去，孙昊轩则不以为然。
“你们，是要去食堂吗？”回头，恰好看见戴星月正准备支起伞。
“对。”孙昊轩干脆地点点头。
“你送昊子吧，我淋雨冲去食堂也没事。”自从军训时孙昊轩被坑连说了十二次“我喜欢你”之后，这两人之间总有一种奇怪的气场蔓延在周围。我明白孙昊轩的真实想法，便总觉得应该创造机会给他向对方解释清楚。
戴星月正想说些什么时，柳语兮撑着伞从食堂方向走了过来，手里还拿着一把——是樊斯敏的，默默递给我，然后转身走了，一句话也没说。
“谢谢。”我对着已经远去的背影喊道。
她转身，笑了笑，有些模糊。
“那我撑你过去好了。”戴星月让出伞下的大半空间。
孙昊轩露出腼腆的笑容：“谢谢！我来撑伞吧。”
雨面无表情地下着，场面不算太尴尬。孙昊轩右手撑伞，走在戴星月左侧。我打着一把直径略大于肩宽的伞跟在他们后面。
可好不容易创造出来的机会，他们竟然一句话也没说。
我就看着雨水噼里啪啦打在孙昊轩的空空如也的左手上，依着骨节分明的手指顺流而下，在空中留下自由落体运动的痕迹，最后因为万有引力归于尘土，惊起水洼涟漪。
只见他的右手又往右边挪了一些，校服衬衫左手的袖口开始滴水。到了食堂，戴星月只好费劲地挤出抱歉的笑容，浅浅鞠了个躬：“谢谢你了，不好意思……”此时孙昊轩收下伞，由于一路上为了保持距离，一而再再而三把伞下大部分空间谦让给对方，左侧的肩膀湿透了，校服衬衫上印着深深的水印，隐约可见内衬的深蓝色T恤袖口的印花单词，是free？
一把完全能容下两个人的防风伞还能淋到雨，除了头顶，几乎跟没伞撑一样，除了孙昊轩，也是没谁了。
“没事。”孙昊轩摇摇头，麻利地脱下淋湿的衬衫。
我这才看清他左袖口的单词——freezing。
如今我早已记不得那天的雨下了多久、当天气温多少摄氏度，我只记得，班级教学日志上的天气写的是freezing cold，然后英语老师得知，第二天就把负责写那天教学日志的魏理同学批判了一番。
“freezing cold这词什么含义？你凑哪门子热闹？”我戳了戳魏理，此刻他正在合唱团的门前踌躇，举起手做推门状，放下，又举起，再放下……循环往复，“胆子被猫吃了？要不要我帮你推啊？”
魏理回头，发现是我，赶紧比划了一个“噤声”的手势。
我从玻璃窗出探头望去，见到里头正在和江镜琪一起捣蛋的樊斯捷，恍然大悟：“哦，你们还没友尽啊？”
“什么叫友尽？我们又没开始爱情！”魏理气急败坏地把我拖到一旁的角落里。
“是是是，你们没有友尽，因为她呢，根本没有拒绝你，该怎样还是怎样，一切照旧，连一张好人卡都不给你。”人生已经如此艰难，有些事情我就是要拆穿。
魏理痛苦地抱着头，给了我一拳：“太痛苦了！我昨天看着她跟乔仲有说有笑的，你说这都什么事儿啊！我的内心简直是freezing cold啊！”
“我仔细想了一下，斯捷对数学竞赛从来都不是最热情的，上高中之后更加。反倒是对合唱团更上心，乔仲又是合唱团的，近水楼台先得月。兄弟，想开点啊！”
“还有什么回旋的余地吗？大神，求传授人生经验啊！怎么样让这种熟悉的人一下子怦然心动哦？”
魏理这个问题一说出口，我不自觉地挑眉，有一丝的不自在，仅仅一丝却被他逮了个正着：“嚯！你果然知道！十盒八喜，你快说！”
“说什么呀？异地恋早就完蛋了！不过话说回来……非要……一瞬间砰然心动的话……就把事情做得……嗯，绝一点。”
“绝一点？此话怎讲？”
“啧啧，比如啊，给她讲数学题的时候……”我脑子里好像混进了什么奇怪的东西，“趁其不备，亲一下……什么的吧！”
“哇塞！”魏理的脑子里也混进了什么奇怪的东西，忍不住又打了我一拳，我也回了他一拳，他改用力地拍了一下我，“不愧是富有人生经验的长者，真有你的！怎么想到的？你是不是……嗯？”
“是啊，要我教你吗？”说着，我余光看见合唱团的门好像开了，便装腔作势地捧着魏理的脸，然后扳了过来。
魏理忍不住发狂尖叫：“救命！我是直的啊！”
果不其然，樊斯捷推开了合唱团的门，一眼就看见了正在角落里……的我俩，顿时不可思议地惊叫一声，然后赶忙捂住了嘴。
眼见得逞，我一通狂笑。
魏理急忙推开我，扯扯校服的衣摆，立正稍息：“那个，斯……斯捷，下午好啊！我是来和你说那个……那个，哦对，就是省预赛的事情的。至于连数他……他是来干嘛的，我就不知道了。我……我最近和他分手了……啊不，不你别误会！”
乔仲看了一眼这边，饶是无语。
“行了行了，我知道你们都是直的。”樊斯捷不紧不慢地说道。
我正色道：“甜点社在隔壁，我是来找孙昊轩的，路过而已。斯捷你别误会，魏理最近好像发烧了，我只是帮他看看而已。”
“对对对，就是这样！就是这样！我发烧了，不信你问斯敏！”魏理狗腿地点头如捣蒜。
然后樊斯捷就头也不回地走掉了。
后来，freezing cold这个词很久没再出现过——夏天来了，IMO来了。
韩国大爆冷门，从中国队手里拿走了总分第一——不过很可惜，个人第一满分42的不在韩国队，而在新加坡。
时隔十六年，中国队再现铜牌，并且个人第一不在中国队的惨烈情况下，居于总分第二，并高于第三名美国队1分……
真的是够惨了。
国内倒是没什么媒体宣传，也没有网民狂欢。倒是现场的外国友人记者操碎了心——
“I’m at the sence of the IMO， the Internetional Mathematical Olympiad. （我现在在国际数学奥林匹克现场）To our surprise， the Korean team got the first overall score in the competition! （让我们意外的是，韩国队在这次比赛中取得了总分第一）I'm sorry ， but do I see China at number 2 that is one big upset.（我很抱歉地看到中国队的2号选手有些心灰意冷）”
“Yep. How horrible! Poor them， every five years they h□□e to le□□e the first place. （是啊，真是糟透了！可怜的中国队，每五年就不得不离开一次总分第一的宝座）Maybe the contestant was too nervous to play well during the competition.（也许选手太过紧张，以至于不能发挥正常）”
不过所幸的是，2号才高二，仍有机会。
大家都还，年轻啊！